三角换元的本质是什么？

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题主基本上说的是对的。

你可以从单位圆思考圆形到椭圆的变化：

把x^2+y^2=1中的x和y直接换成x/a和y/b其实就直接得到了椭圆方程，所以图像上椭圆方程x^2/a^2+y^/b^2=1实际上就是把单位圆在水平方向上拉伸了a倍，在竖直方向上拉伸了b倍，让一个圆形通过伸缩变换变成了一个椭圆。

所以原来在单位圆上定义的余弦——邻边比斜边，就因为邻边的拉伸而扩大了a倍，所以余弦乘以a就可以认为是表示椭圆的“余弦”；同理，正弦——对边比斜边也就是扩大了b倍。

这就是为什么椭圆上的点x，y值分别÷a和b一定是某个角的正弦余弦值。因为本质上就是做了两个方向上的伸缩变化。除以a和b的过程就相当于将这个椭圆还原成单位圆，自然就找到了余弦和正弦。其实和讲必修四三角函数图像时提到的伸缩变换是一个道理。

其实你说的这件事叫做“仿射变换”，等你学再多一些应该就会有更好的理解了。

你的难点可能在于对于换元法的理解。我们首先要搞清楚什么是换元法，换元法的本质是将函数的自变量用另一个量替代，从而得到更本质的函数关系。比如本题中知道了f(1/x）的表达式，要求f(x）的表达式时，先设t=1/x，即将f(1/x）中的1/x用变量t替代，由t=1/x，显然可得x=1/t，所以在化简f(1/x)=x/(1-x2)时，1/x用t替代，等式右边x用1/t替代，这样就有f(t)=1/t/(1-1/t2)=t/t2-1；

第二个问题，为什么f(t)=t/t2-1，而f(x)=x/x2-1？这里其实就是对于函数的理解了，函数里面的自变量只是一个代表，是可以用任何字母表示的，这两个式子是完全等价的，你写成f(a)=a/a2-1也是完全等价的。其实你完全可以说函数的解析式是f(t)=t/t2-1,只不过习惯上我们都用x来代表自变量，所以写成了f(x)=x/x2-1.

第三个问题其实你把所得到的解析式对比一下就知道了。你看f(x)=x/x2-1.而f(1/x)=x/(1-x2)，这两个函数不是正好互为相反数吗？所以就有f(x)=-f(1/x)了。

函数的问题刚开始学的时候比较困难。需要慢慢理解。后面入门了就好多了。。

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