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1.定义法
例题 已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。
解 分析函数在R+上的单调性
任取x1>x2>0
Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2)
=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1)
令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0
因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1
当3X2^2-1>=0时 即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的
同理 当3X1^2-1<=0时 即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的
故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3)
因此 a=根号3/3
一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。
2.图像法
例题 求y=x+3/x-1的单调区间
解 函数定义域为（-，1）并（1，+)
Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1
由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。
函数的图像是解决这类问题的关键。
3.性质法
性质：增+增=增 减+减=减
y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性 当k<0有相反的单调性
y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性
例题 求y=x^3+x的单调区间。
解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。
由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R.
4.复合法
u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。
例题 求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。
解 令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u
当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增
当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减
Y=根号u递增
所以 原函数的单调增区间为[1,+)
减区间为（-，-1]
函数的单调性中同增异减怎么理解
奇函数关于原点对称，就像太极图，比如y=x。
偶函数关于Y轴对称，比如y=|x|。
增函数就是Y随X增大而增大，比如 y=x
减函数是Y随着X增大而减小，比如y=1/x。
引理1：已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，
故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
引理2：已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
扩展资料：
若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：
⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；
⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
参考资料：复合函数_百度百科
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我是百姓号的签约作者“第五子赫”
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